Problema
Antes de definir rigurosamente qué es una ecuación y un sistema lineal, veamos un ejemplo de la vida cotidiana que ilustra por qué necesitamos estas herramientas matemáticas. Como futuros docentes, plantear un “problema disparador” es una excelente estrategia para introducir un tema.
El problema: Un profesor compra \(30\) artículos de librería para sus alumnos, entre cuadernos, lapiceras y marcadores. En total, gasta \(\$950\). Sabe que el precio de un cuaderno es de \(\$50\), el de una lapicera es de \(\$20\) y el de un marcador es de \(\$30\). Además, al revisar la bolsa, nota que la cantidad de lapiceras que compró es exactamente igual a la suma de la cantidad de cuadernos y marcadores juntos. ¿Cuántos artículos de cada tipo compró?
Traducción al lenguaje algebraico: Para resolver esto, primero definimos nuestras incógnitas:
- \(x\): cantidad de cuadernos.
- \(y\): cantidad de lapiceras.
- \(z\): cantidad de marcadores.
Ahora, traducimos cada condición del problema en una ecuación matemática:
- “Compra \(30\) artículos en total”: \(\quad x + y + z = 30\)
- “Gasta \(\$950\) en total” (conociendo los precios): \(\quad 50x + 20y + 30z = 950\)
- “Las lapiceras son la suma de cuadernos y marcadores”: \(\quad y = x + z\)
Tenemos entonces un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Resolución mediante el método de sustitución: Podemos resolver este problema “reemplazando” el valor de una incógnita en las otras ecuaciones. Como la tercera ecuación ya nos dice que \(y = x + z\), podemos sustituir la \(y\) en las dos primeras.
Sustituimos \(y\) en la primera ecuación:$$x + (x + z) + z = 30 \implies 2x + 2z = 30$$
Dividiendo todo por 2, obtenemos una ecuación más simple:$$x + z = 15 \quad \text{— (Ecuación A)}$$
Sustituimos \(y\) en la segunda ecuación (primero podemos simplificarla dividiendo por 10: \(5x + 2y + 3z = 95\)):$$5x + 2(x + z) + 3z = 95$$$$5x + 2x + 2z + 3z = 95$$$$7x + 5z = 95 \quad \text{— (Ecuación B)}$$
Ahora tenemos un “mini-sistema” con dos variables (\(x\) y \(z\)). De la (Ecuación A), despejamos \(z\):$$z = 15 – x$$
Y sustituimos esta expresión en la (Ecuación B):$$7x + 5(15 – x) = 95$$$$7x + 75 – 5x = 95$$$$2x + 75 = 95$$$$2x = 20 \implies x = 10$$
¡Ya tenemos la cantidad de cuadernos! Ahora hallamos el resto: Como \(z = 15 – x \implies z = 15 – 10 \implies z = 5\) (marcadores). Como \(y = x + z \implies y = 10 + 5 \implies y = 15\) (lapiceras).
Respuesta: El profesor compró 10 cuadernos, 15 lapiceras y 5 marcadores.
Reflexión didáctica: Aunque pudimos resolver este problema de \(3 \times 3\) por sustitución, el proceso fue un poco largo y propenso a errores de cuentas. ¿Qué pasaría si tuviéramos 5 ecuaciones con 5 incógnitas? ¿O 100 con 100? El método de sustitución se volvería insostenible. Esta necesidad es la que nos obliga a formalizar la teoría matemática y a buscar métodos más sistemáticos, que es precisamente de lo que trata el Álgebra Lineal.
¿Qué es una ecuación lineal?
El bloque de construcción básico del problema anterior es la ecuación lineal.
Una ecuación lineal en \(n\) variables (o incógnitas) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) es una igualdad matemática que puede expresarse de la forma:$$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$$
Donde:
- \(x_1, x_2, \dots, x_n\) son las variables o incógnitas.
- \(a_1, a_2, \dots, a_n\) son números reales (o complejos) llamados coeficientes. Al menos uno de los coeficientes debe ser distinto de cero.
- \(b\) es un número real (o complejo) llamado término independiente.
Características clave: Para que una ecuación sea considerada estrictamente “lineal”, debe cumplir con las siguientes condiciones:
- El exponente de cada variable es siempre \(1\) (es decir, no aparecen términos como \(x_1^2\) o \(x_2^{-1}\)).
- No existen productos entre variables (por ejemplo, el término \(x_1 \cdot x_2\) no está permitido).
- Las variables no actúan como argumentos de funciones trascendentes ni se encuentran afectadas por radicales.
Ejemplos para el aula
Como futuros docentes, es clave presentar tanto ejemplos de lo que es el objeto matemático, como contraejemplos de lo que no es.
Son ecuaciones lineales:
- \(3x – 2y = 7\)
- \(\frac{1}{2}x_1 – \sqrt{3}x_2 + 5x_3 = 0\) (Nota: Los coeficientes pueden ser fracciones o raíces, la restricción aplica a las variables).
- \(x_1 = 4\)
NO son ecuaciones lineales:
- \(x_1^2 + 3x_2 = 5\) (La variable \(x_1\) está elevada al cuadrado).
- \(4x_1 \cdot x_2 – x_3 = 2\) (Hay un producto entre variables).
- \(\sin(x_1) + 2x_2 = 0\) (\(x_1\) es argumento de una función).
Interpretación Geométrica
- Con dos variables (\(ax + by = c\)) representa una recta en el plano cartesiano (\(\mathbb{R}^2\)).
- Con tres variables (\(ax + by + cz = d\)) representa un plano en el espacio tridimensional (\(\mathbb{R}^3\)).
Ecuaciones Lineales Equivalentes
Decimos que dos ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Se obtienen multiplicando ambos miembros de la igualdad por un número real distinto de cero.
Ejemplo: Ecuación original: \(2x – 4y = 6\) Si multiplicamos ambos miembros por \(\frac{1}{2}\), obtenemos la equivalente: \(x – 2y = 3\). Geométricamente, ambas representan la misma recta.
Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales que involucran las mismas variables.$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$
Nota didáctica sobre la notación: El doble subíndice \(a_{ij}\) indica que el coeficiente está en la ecuación \(i\) acompañando a la variable \(j\).
Clasificación de los Sistemas según sus Soluciones
- Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución.
- Ejemplo (\(2 \times 2\)): \(\begin{cases} x + y = 3 \\ x – y = 1 \end{cases} \implies\) Solución única: \((2, 1)\). (Las rectas se cruzan en un punto).
- Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones.
- Ejemplo (\(2 \times 2\)): \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} \implies\) (Las rectas son coincidentes).
- Sistema Incompatible (SI):No tiene solución (\(\emptyset\)).
- Ejemplo (\(2 \times 2\)): \(\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 4 \end{cases} \implies\) (Las rectas son paralelas).