Llamamos pivote al primer número distinto de cero que aparece en una fila.
- Gauss: Busca una matriz escalonada (ceros debajo de los pivotes formando una escalera).
- Gauss-Jordan: Busca la escalonada reducida (pivotes iguales a \(1\), y ceros arriba y abajo de cada pivote).
Ejemplo práctico resuelto (\(3 \times 3\)):
$$\begin{cases} x + 2y – z = 2 \\ 2x – y + 3z = 9 \\ -x + 3y – 2z = -5 \end{cases}$$
Paso 1: Matriz ampliada$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \big| & 2 \\ 2 & -1 & 3 & \big| & 9 \\ -1 & 3 & -2 & \big| & -5 \end{pmatrix}$$
Paso 2: Gauss (Ceros por debajo)
- Operaciones: \(F_2 \rightarrow F_2 – 2F_1\) y \(F_3 \rightarrow F_3 + F_1\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & -5 & 5 & \big| & 5 \\ 0 & 5 & -3 & \big| & -3 \end{pmatrix}\)
- Operación: \(F_2 \rightarrow -\frac{1}{5}F_2\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & -1 \\ 0 & 5 & -3 & \big| & -3 \end{pmatrix}\)
- Operación: \(F_3 \rightarrow F_3 – 5F_2\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & -1 \\ 0 & 0 & 2 & \big| & 2 \end{pmatrix}\)
🛑 ¡Aquí termina Gauss! Resolviendo por sustitución hacia atrás:\(2z = 2 \implies z=1\), luego\(y=0\), luego\(x=3\).
Paso 3: Gauss-Jordan (Continuar hasta la reducida)
- Operación: \(F_3 \rightarrow \frac{1}{2}F_3\) $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \big| & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \big| & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$
- Operaciones: \(F_2 \rightarrow F_2 + F_3\) y \(F_1 \rightarrow F_1 + F_3\) $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \big| & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \big| & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$
- Operación: \(F_1 \rightarrow F_1 – 2F_2\) $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \big| & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \big| & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$
✅ ¡Aquí termina Gauss-Jordan! La solución se lee directamente en la última columna:\((3, 0, 1)\).