Matriz invertible
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible si existe \(B\) tal que \(A \cdot B = B \cdot A = I_n\).
Se la denota \(A^{-1}\).
Condición de existencia: Existe \(A^{-1} \iff |A| \neq 0\).
Método de la Matriz Adjunta
Fórmula: \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [Adj(A)]^T\)
(Llamamos Adjunta a la matriz de cofactores, por lo que la trasponemos al usar la fórmula).
Ejemplo resuelto (\(3 \times 3\)): Sea \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).
- Paso 1: \(|A| = -1\) (Lo calculamos en la sección anterior).
- Paso 2: Matriz de cofactores (con la regla de signos alterna): \(Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)
- Paso 3: Trasponemos: \([Adj(A)]^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}\)
- Paso 4: Multiplicamos por \(1/-1 = -1\):$$\mathbf{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}}$$
(También se puede calcular escalonando \([A | I]\) por Gauss-Jordan hasta obtener \([I | A^{-1}]\)).