Sistemas Coordenados
Apuntes interactivos y visuales
1. Sistemas coordenados
1.1 En la recta (1D)
Es importante distinguir entre una recta geométrica y una recta coordenada. Una recta en la geometría clásica de Euclides es simplemente un conjunto infinito de puntos alineados sin origen, ni escala, ni dirección inherente. Para convertirla en una recta coordenada y poder estudiarla analíticamente, necesitamos establecer un sistema de referencia.
El proceso es el siguiente: primero, elegimos un punto arbitrario sobre la recta al que llamaremos origen y le asociamos el número cero (\(0\)). Luego, elegimos un segundo punto distinto y le asociamos el número uno (\(1\)). La distancia entre el origen y este segundo punto define nuestra unidad de medida, y la dirección desde el \(0\) hacia el \(1\) (usualmente hacia la derecha) establece el sentido positivo.
Una vez fijados el origen y la unidad, cada punto en la recta queda completamente determinado por su distancia dirigida desde el origen. Gracias a los axiomas de continuidad de la geometría, podemos afirmar que se establece una correspondencia biunívoca (biyección) entre los puntos de la recta y los números reales (\(\mathbb{R}\)).
Recta Numérica Real Base
A. Abscisa de un punto
El número real \(x\) asociado a un punto \(P\) de la recta coordenada se llama coordenada o abscisa de \(P\), y se denota como \(P(x)\). Mueve el deslizador para cambiar la abscisa del punto \(P\).
B. Distancia entre dos puntos
La distancia \(d\) entre dos puntos \(P_1(x_1)\) y \(P_2(x_2)\) se define como el valor absoluto de la diferencia de sus abscisas: \( d(P_1, P_2) = |x_2 - x_1| \) El valor absoluto garantiza que la distancia siempre sea un número no negativo, independientemente del orden de los puntos.
Distancia \(d\) = 5.0 unidades
C. División de un segmento en una razón dada
Si \(P_1(x_1)\) y \(P_2(x_2)\) son los extremos de un segmento dirigido, el punto \(P(x)\) que divide a este segmento en una razón dada \(r = \frac{P_1P}{PP_2}\) tiene como abscisa: \( x = \frac{x_1 + r x_2}{1 + r} \quad (r \neq -1) \)
Punto de división: \(P(\)0.0\()\)
D. Punto medio
Es un caso particular de la división de un segmento donde la razón es \(r = 1\). El punto medio \(M(x_m)\) divide al segmento en dos partes iguales y su abscisa es el promedio aritmético de las abscisas extremas: \( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
Punto Medio: \(M(\)-1.0\()\)
E. Ejercicios y Análisis (1D)
Resuelve los siguientes problemas para afianzar tu comprensión. Intenta razonar geométricamente antes de aplicar las fórmulas.
- Distancia dada: Dado el punto \(A(3)\), encuentra las coordenadas de todos los puntos que están a una distancia exacta de \(4\) unidades de \(A\). (Pista: piensa en la definición de valor absoluto).
- Extremo desconocido: Un segmento tiene como punto medio \(M(-1.5)\). Si uno de sus extremos es el punto \(P_1(2)\), ¿cuál es la coordenada del otro extremo \(P_2\)?
-
Laboratorio de la Razón \(r\): Utiliza el siguiente interactivo
para analizar el comportamiento del punto \(P\) que divide al segmento dirigido
\(P_1P_2\) según la razón \(r\).
Responde observando el interactivo (fijando \(P_1=-3\) y \(P_2=3\)):1.00- ¿Qué sucede con \(P\) si \(r = 0\)?
- ¿Qué sucede con \(P\) si \(r = 1\)?
- ¿Dónde se ubica \(P\) si \(r > 0\) (razón positiva)?
- ¿Dónde se ubica \(P\) si \(-1 < r < 0\)?
- ¿Dónde se ubica \(P\) si \(r < -1\)?
- ¿Por qué el punto \(P\) "desaparece" o salta violentamente de un extremo al otro cuando \(r\) se acerca a \(-1\)?
- Trisección: Encuentra las coordenadas de los dos puntos que dividen al segmento con extremos \(A(-4)\) y \(B(5)\) en tres partes iguales. (Pista: ¿qué valores de \(r\) necesitas usar?)
- Desigualdad triangular en 1D: Demuestra, usando ejemplos numéricos en la recta, que para tres puntos cualesquiera \(A, B, C\), siempre se cumple que \(d(A, B) + d(B, C) \geq d(A, C)\). ¿Bajo qué condición específica se cumple la igualdad?
- Puntos simétricos: Dos puntos \(A\) y \(B\) son simétricos respecto a un punto \(C\) si \(C\) es el punto medio del segmento \(AB\). Encuentra el punto simétrico de \(P(7)\) respecto al origen. Luego, encuentra su simétrico respecto al punto \(Q(-2)\).
- Suma de distancias constante: Encuentra todos los puntos \(P(x)\) en la recta tales que la suma de sus distancias a los puntos \(A(-2)\) y \(B(2)\) sea exactamente igual a \(6\). Es decir, resuelve la ecuación \(|x - (-2)| + |x - 2| = 6\).
- Razón inversa: Si un punto \(P\) divide al segmento dirigido \(P_1P_2\) en una razón \(r = 3/2\), ¿en qué razón divide el mismo punto \(P\) al segmento dirigido en sentido opuesto, es decir, el segmento \(P_2P_1\)?
- Centro de masa 1D: Imagina que colocamos una masa de \(3\) kg en el punto \(A(-4)\) y una masa de \(5\) kg en el punto \(B(4)\). El "centro de masa" es el punto de equilibrio. Su fórmula es \( \bar{x} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} \). Encuentra el centro de masa y compáralo con la fórmula de división de un segmento. ¿Qué relación hay entre las masas y la razón \(r\)?
- El viajero: Un viajero parte del punto \(A(-10)\) y se mueve hacia la derecha a una velocidad constante de \(2\) unidades por segundo. Al mismo tiempo, otro viajero parte de \(B(14)\) y se mueve hacia la izquierda a \(4\) unidades por segundo. ¿En qué coordenada se encontrarán y en qué razón divide ese punto de encuentro al segmento \(AB\)?
1.2 En el plano (2D)
Al cruzar dos rectas numéricas perpendicularmente en sus orígenes, obtenemos el plano cartesiano (en honor a René Descartes). La recta horizontal se llama eje de las abscisas o eje \(X\), y la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje \(Y\). El punto donde se cruzan es el origen \(O(0,0)\).
Estos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes (I, II, III y IV), numerados en sentido contrario a las agujas del reloj.
A. Coordenadas de un punto
Cada punto \(P\) en el plano se representa mediante un par ordenado de números reales \((x, y)\). El primer número, \(x\), es la abscisa (distancia horizontal al eje Y), y el segundo, \(y\), es la ordenada (distancia vertical al eje X).
Dado un punto, obtén sus coordenadas
Arrastra el punto P sobre el plano
P(3.0, 4.0)
Dadas las coordenadas, ubica el punto
Mueve los deslizadores para posicionar P
B. Distancia entre dos puntos
Para encontrar la distancia \(d\) entre dos puntos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\), utilizamos el Teorema de Pitágoras.
- La longitud del cateto horizontal es \(|x_2 - x_1|\).
- La longitud del cateto vertical es \(|y_2 - y_1|\).
Aplicando Pitágoras (\(c^2 = a^2 + b^2\)):
\( d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)
Tomando la raíz cuadrada obtenemos la fórmula general de la distancia:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Arrastra los puntos \(P_1\) y \(P_2\) para calcular su distancia
C. División de un segmento en una razón dada
Al igual que en la recta, un punto \(P(x,y)\) puede dividir un segmento de recta dirigido \(P_1P_2\) en una razón dada \(r = \frac{P_1P}{PP_2}\). Por semejanza de triángulos, la fórmula unidimensional se aplica por separado a cada coordenada:
\( x = \frac{x_1 + r x_2}{1 + r} \quad \text{y} \quad y = \frac{y_1 + r y_2}{1 + r} \quad (r \neq -1) \)
Arrastra \(P_1\) y \(P_2\), y ajusta la razón \(r\)
Punto de división: \(P(\)0.00, 0.00\()\)
D. Punto medio
Haciendo \(r = 1\), el punto medio \(M(x_m, y_m)\) de un segmento tiene por coordenadas los promedios aritméticos de las coordenadas de sus extremos:
\( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{y} \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
Arrastra \(P_1\) y \(P_2\) para ver el punto medio \(M\)
Punto Medio \(M(\)0.00, 0.00\()\)
E. Ejercicios y Análisis Profundo (2D)
Problemas diseñados para conectar la intuición geométrica con el rigor algebraico. Dibuja un esquema antes de intentar resolverlos.
- El cuarto vértice: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Tienes un paralelogramo con vértices en \(A(1, 2)\), \(B(5, 3)\) y \(C(6, 7)\). Sin usar cálculos complejos de distancias ni pendientes, usa el concepto de punto medio para deducir las coordenadas del cuarto vértice \(D\).
- El guardacostas (Optimización de Herón): Un helicóptero en la base \(A(1, 5)\) debe recoger a un náufrago y llevarlo al hospital en \(B(8, 2)\). Sin embargo, primero debe tocar la costa (representada por el eje \(X\)) para recoger un kit médico de un barco. ¿En qué coordenada del eje \(X\) debe detenerse para que la distancia total volada sea la mínima posible? (Pista: Imagina que el eje \(X\) es un espejo y refleja el punto \(B\)).
- Alineación sin líneas: Utilizando única y exclusivamente la fórmula de la distancia, demuestra si los puntos \(A(-2, -3)\), \(B(1, 3)\) y \(C(3, 7)\) están o no sobre la misma línea recta. ¿Qué axioma geométrico sustenta tu razonamiento?
- Centro de gravedad (Baricentro): Las medianas de un triángulo conectan un vértice con el punto medio del lado opuesto, y se intersecan en un punto llamado baricentro. Un teorema afirma que el baricentro divide a cada mediana en una razón de \(2:1\) (desde el vértice). Dado un triángulo de vértices \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) y \((x_3, y_3)\), demuestra analíticamente que las coordenadas del baricentro son simplemente el promedio de los tres vértices: \( (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}) \).
- El misterio del diamante: Describe la figura geométrica plana que está formada por absolutamente todos los puntos \((x,y)\) que satisfacen la ecuación \(|x| + |y| = 4\). Dibuja la solución en los cuatro cuadrantes para convencerte.
- El centro oculto: Queremos trazar una circunferencia que pase exactamente por los puntos \(P(0, 0)\), \(Q(4, 0)\) y \(R(0, 6)\). Plantea una ecuación usando distancias para encontrar el centro \(C(h, k)\) de dicha circunferencia. ¿Podrías haber hallado el centro usando solo conocimientos de geometría básica y triángulos rectángulos inscritos?
- Lugar geométrico de una Mediatriz: Encuentra la ecuación algebraica que deben cumplir todos los puntos \(P(x,y)\) que están a la misma distancia del punto \(A(-2, 1)\) y del punto \(B(4, 5)\). Al simplificar la ecuación, ¿qué tipo de figura geométrica descubres que se forma?
- Área por "Encajonamiento": ¿Cómo calcularías el área exacta del triángulo formado por los vértices \(A(-2, -1)\), \(B(4, -2)\) y \(C(1, 5)\) sin saber trigonometría ni fórmulas avanzadas? (Pista: Dibuja un rectángulo grande que encierre perfectamente al triángulo con lados paralelos a los ejes, calcula su área, y réstale los triángulos rectángulos que sobran en las esquinas).
- Colisión en el plano: Dos partículas se mueven en el plano cartesiano con el paso del tiempo \(t\). La partícula 1 está dada por las coordenadas parametrizadas \(P_1(t) = (t, \ 2t+1)\) y la partícula 2 por \(P_2(t) = (3t-4, \ t+3)\). ¿Llegarán a chocar en algún momento? Si la respuesta es no, plantea la ecuación para encontrar en qué segundo \(t\) estarán lo más cerca posible la una de la otra.
- El espejo diagonal: Si tomas el punto \(A(3, 1)\) y lo "reflejas" usando como espejo la recta diagonal infinita \(y = x\), ¿en qué coordenadas aterriza? Extrapola esta idea y deduce la regla general: al reflejar cualquier punto \((a, b)\) sobre \(y=x\), ¿cuáles son sus nuevas coordenadas?
1.3 En el espacio (3D)
Para localizar puntos en el espacio tridimensional, añadimos un tercer eje perpendicular a los ejes \(X\) e \(Y\), llamado eje de cotas o eje \(Z\). Todos se cruzan en el origen \(O(0,0,0)\).
Estos tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano \(XY\), el plano \(XZ\) y el plano \(YZ\). Estos planos se cortan como las paredes y el piso de una habitación, dividiendo el espacio en ocho regiones infinitas llamadas octantes. Cada punto queda determinado por una terna ordenada \((x, y, z)\).
A. Coordenadas Espaciales
Visualizar en 3D sobre una pantalla plana requiere proyectar los ejes. Usaremos una convención matemática estándar: el eje \(Y\) va a la derecha, el eje \(Z\) va hacia arriba, y el eje \(X\) parece "salir" de la pantalla hacia adelante y a la izquierda.
Posición del punto P
P(3, 4, 3)
B. Distancia entre dos puntos (3D)
La fórmula de la distancia en 3D es una extensión directa y elegante del Teorema de Pitágoras aplicado dos veces.
- Primero, calculamos la distancia de la sombra (proyección) de estos puntos en el plano \(XY\). Por Pitágoras en 2D, el cuadrado de esta diagonal base es: \( d_{xy}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \).
- Luego, esta diagonal base forma un nuevo triángulo rectángulo vertical con la diferencia de alturas \((z_2 - z_1)\).
- Aplicando Pitágoras a este triángulo vertical: \( d^2 = d_{xy}^2 + (z_2 - z_1)^2 \).
Sustituyendo el paso 1 en el paso 3, obtenemos la diagonal espacial:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)
C. Punto Medio en el Espacio
Conservando la misma lógica analítica de las dimensiones anteriores, el punto medio \(M(x_m, y_m, z_m)\) de un segmento en 3D simplemente promedia las tres coordenadas de los extremos.
\( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \)
D. Ejercicios de Imaginación Espacial (3D)
En 3D, el mayor reto es la visualización. Usa objetos de tu entorno (la esquina de tu cuarto es un origen perfecto) para razonar estos problemas.
- La Esfera Básica: Así como un círculo agrupa todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un centro, ¿cómo escribirías la ecuación analítica que define todos los puntos \((x,y,z)\) que forman la superficie de una esfera de radio \(R = 5\), centrada en el origen \(O(0,0,0)\)?
-
Espejos Tridimensionales: Tienes el punto \(P(2, -3, 4)\).
- Si usas el plano \(XY\) como piso/espejo, ¿cuáles son las coordenadas del reflejo \(P'\)?
- ¿Y si luego reflejas \(P'\) usando el plano \(XZ\) (la pared frontal) como espejo?
- La mosca y la araña: Una habitación tiene dimensiones de \(4\)m de ancho (eje Y), \(5\)m de largo (eje X) y \(3\)m de alto (eje Z). Una araña está en el origen (una esquina del piso) y ve a una mosca en la esquina diagonalmente opuesta del techo \((5, 4, 3)\). Si la araña pudiera volar, ¿cuánta distancia recorrería? ¿Cómo cambia el problema geométrico si la araña sólo puede caminar por las paredes y el piso? (No lo resuelvas numéricamente, solo razona qué forma geométrica se debe desarrollar).
- Distancia a un EJE (no al origen): Dado el punto \(P(3, 4, 12)\), calcula su distancia exacta hacia el Origen \(O\). Ahora, calcula su distancia hacia el Eje Z. ¿Ves por qué son diferentes? ¿Qué figura geométrica formarán todos los puntos cuya distancia al Eje Z sea exactamente \(5\)?
- Alineación Estelar: Demuestra mediante distancias o puntos medios si las estrellas con coordenadas \(A(1, 2, 3)\), \(B(3, 6, 9)\) y \(C(4, 8, 12)\) se encuentran exactamente alineadas a lo largo del mismo rayo láser.
- El Centro de Masas de un Tetraedro: Si el baricentro de un triángulo es el promedio de sus \(3\) vértices, por inducción lógica, ¿cuál será el baricentro de un tetraedro regular (pirámide de base triangular) con vértices en \((0,0,0)\), \((a,0,0)\), \((0,a,0)\) y \((0,0,a)\)?
- Caja en el Octante: Se inscribe un prisma rectangular (una caja de zapatos) en el primer octante, de modo que uno de sus vértices está en el origen \(O(0,0,0)\) y el vértice opuesto es \(P(a, b, c)\). ¿Cuáles son las coordenadas de los otros 6 vértices restantes del prisma?