"La utilidad de las matrices radica en la simplicidad con la cual pueden mostrar datos relacionados entre sí, como, por ejemplo, los horarios de las salidas de los aviones en un aeropuerto o el stock de mercadería de un negocio."
Problema Introductorio
En muchas ocasiones, la información que aparece en los diarios está dada por medio de una tabla. La siguiente tabla forma parte de la que apareció en los diarios al finalizar el campeonato de fútbol Clausura 2002:
| Club | J | G | E | P | Gf | Gc | Pts |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| River Plate | 19 | 13 | 4 | 2 | 39 | 13 | 43 |
| Gimnasia (LP) | 19 | 11 | 4 | 4 | 33 | 23 | 37 |
| Boca Juniors | 19 | 10 | 5 | 4 | 26 | 17 | 35 |
| Huracán | 19 | 9 | 3 | 7 | 27 | 24 | 30 |
| Banfield | 19 | 8 | 6 | 5 | 21 | 18 | 30 |
| Estudiantes | 19 | 8 | 6 | 6 | 38 | 28 | 30 |
A partir de la información de la tabla, respondan:
- a. ¿Cuántos goles a favor tuvo Huracán?
- b. ¿Cuántos partidos perdió Estudiantes?
- c. ¿Cuántos partidos empató Gimnasia de La Plata?
- d. ¿Qué equipo convirtió más goles a favor?
- e. ¿Qué equipos empataron 6 partidos?
1. Conceptos Fundamentales
Definición de Matriz
Llamamos matriz de orden $m \times n$ a una distribución de números en una tabla de $m$ filas y $n$ columnas.
Denotando con $A$ una matriz cualquiera, simbólicamente escribimos:
Notación de Coordenadas
El número real que en la matriz $A$ se encuentra en el cruce de la fila $i$ con la columna $j$ se denota $a_{ij}$. Es decir que en el lugar $ij$ de la matriz $A$ está el número $(A)_{ij} = a_{ij}$. Cada $a_{ij}$ se llama coordenada o elemento de la matriz.
Tipos de Matrices
Matriz fila o vector
Una matriz fila $A$ o vector de orden $n$ es una matriz de orden $1 \times n$, es decir, una matriz de una sola fila y de $n$ columnas.
Matriz nula
La matriz nula de orden $m \times n$ es una matriz donde todas sus coordenadas son cero. A esta matriz la simbolizamos con la letra $N$.
Matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es una matriz de orden $n \times n$, es decir, una matriz que tiene igual cantidad de filas que de columnas. En este caso, decimos que la matriz tiene orden $n$.
Está formada por las coordenadas en las cuales $i = j$ ($a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$). En el ejemplo, los elementos de la diagonal son 2, 4 y 3.
Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual las coordenadas que no se encuentran en la diagonal son cero.
Matriz identidad
Es una matriz diagonal en la cual las coordenadas que están en la diagonal son todas iguales a $1$. A esta matriz la simbolizamos con $I$.
Matriz traspuesta
La matriz traspuesta de una matriz $A$ de orden $m \times n$ es la matriz de orden $n \times m$ en la cual las filas coinciden con las columnas de $A$ y las columnas, con las filas de $A$. Simbólicamente se la denota $A^t$. O sea que $(A^t)_{ij} = a_{ji}$.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica $A$ es una matriz cuadrada que verifica que $A^t = A$, es decir que $a_{ij} = a_{ji}$.
Triangular superior
Una matriz triangular superior $A$ de orden $m \times n$ es una matriz que verifica que $a_{ij} = 0$ siempre que $i > j$.
Triangular inferior
Una matriz triangular inferior $A$ de orden $m \times n$ es una matriz que verifica que $a_{ij} = 0$ siempre que $i < j$.
2. Ejercicios Prácticos
Ejercicio 1
AplicaciónUna empresa fabrica televisores, videocaseteras y videofilmadoras en tres plantas industriales distintas: A, B y C. La siguiente tabla indica las cantidades de cada producto que la empresa fabrica mensualmente en cada planta industrial:
| Producto | A | B | C |
|---|---|---|---|
| Televisores | 1500 | 2300 | 1950 |
| Videocaseteras | 1350 | 2250 | 1840 |
| Videofilmadoras | 930 | 830 | 248 |
- a. ¿Cuántas videocaseteras son fabricadas por mes en la planta C?
- b. En la planta A, ¿qué cantidad de televisores fabrica la empresa mensualmente?
- c. ¿Cuál es el total de videofilmadoras fabricadas por mes?
- d. ¿En qué planta la empresa fabrica la mayor cantidad de productos?
- e. ¿De qué producto se fabrican más unidades?
Solución:
- a. 1840 videocaseteras (fila 2, columna 3).
- b. 1500 televisores (fila 1, columna 1).
- c. 2008 videofilmadoras en total (930 + 830 + 248).
- d. En la planta B (sumando su respectiva columna: 2300 + 2250 + 830 = 5380 productos).
- e. Se fabrican más televisores (sumando su fila = 5750 unidades).
Ejercicio 2
ConstrucciónEscriban cada una de las siguientes matrices:
- a. $A = (a_{ij})$ de orden $2 \times 2$ y en la cual es $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{21} = 3$ y $a_{22} = -1$.
- b. $B = (b_{ij})$ de orden $5 \times 6$ y tal que $b_{ij} = i + j$.
- c. $C = (c_{ij})$ cuadrada de orden 4 y con $c_{ij} = (-1)^{i+j}$.
- d. $D = (d_{ij})$ de orden $3 \times 2$ y para la cual es $d_{ij} = 1$ si $i = j$ y $d_{ij} = 0$ si $i \neq j$.
Solución:
Ejercicio 3
TraspuestaDeterminen la matriz traspuesta de cada una de las matrices obtenidas en la actividad 2.
Solución:
(Es una matriz simétrica porque $C^t = C$)
Ejercicio 4
ClasificaciónConsideren las siguientes matrices e indiquen cuáles son simétricas, cuáles triangulares superiores, cuáles triangulares inferiores y cuáles diagonales:
Solución:
- Matriz A: Triangular superior (todos los elementos $a_{ij}$ debajo de la diagonal donde $i>j$ son cero).
- Matriz B: Simétrica ($B^t = B$).
- Matriz C: Diagonal (y, por consiguiente, también es simétrica, triangular superior e inferior a la vez).
- Matriz D: Triangular inferior (todos los elementos $a_{ij}$ por encima
de la diagonal donde $i
- Matriz E: No posee ninguna de estas características particulares.
- Matriz F: No posee ninguna de estas características particulares.
Ejercicio 5
DesafíoEscriban para cada ítem una matriz que verifique lo pedido:
- a. Tiene orden $4 \times 3$ y es triangular superior.
- b. Tiene orden $2 \times 8$ y es triangular inferior.
- c. Es cuadrada de orden 4, simétrica y triangular inferior.
- d. Es diagonal de orden 5.
- e. Tiene orden $3 \times 4$ y es triangular superior e inferior.
Solución (Son ejemplos válidos, existen infinitas opciones):