Situación Problemática Inicial
Una empresa posee tres plantas industriales distintas para la fabricación de los productos A, B, C y D. Para fabricarlos necesita ciertas unidades de las materias primas X e Y y cierta cantidad de horas de mano de obra. En las siguientes tablas, se indica la cantidad de unidades de materia prima y las horas de mano de obra que insume cada producto en las distintas plantas:
PLANTA ZÁRATE
| Producto | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Unidades de X | 2 | 3 | 5 | 3 |
| Unidades de Y | 3 | 4 | 8 | 15 |
| Horas de mano de obra | 8 | 10 | 9 | 13 |
PLANTA SAN LUIS
| Producto | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Unidades de X | 3 | 6 | 2 | 3 |
| Unidades de Y | 2 | 5 | 7 | 10 |
| Horas de mano de obra | 10 | 11 | 9 | 12 |
PLANTA TIERRA DEL FUEGO
| Producto | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Unidades de X | 2 | 3 | 5 | 3 |
| Unidades de Y | 3 | 4 | 8 | 15 |
| Horas de mano de obra | 8 | 10 | 9 | 13 |
A partir de la información de las tablas, respondan:
- a. ¿Qué planta requiere más horas de mano de obra para la fabricación del producto A?
- b. ¿Qué diferencias notan entre la planta Zárate y la planta Tierra del Fuego?
- c. Expresen a través de una matriz la cantidad de unidades de las materias primas X e Y y la cantidad de horas de mano de obra que son necesarias para la fabricación de los productos A, B, C y D en las plantas Zárate y San Luis juntas.
- d. Si se quiere aumentar un 20% la producción en la planta San Luis, ¿cuál es la matriz que indica las unidades necesarias de los insumos X e Y y la cantidad de horas de mano de obra para la fabricación de los productos A, B, C y D?
Solución (Matrices asociadas y operaciones):
- a. La respuesta se encuentra en la fila 3, columna 1 de cada matriz. Como $l_{31} = 10$, y $z_{31} = f_{31} = 8$, la planta San Luis requiere más horas.
- b. No hay diferencias. Requieren los mismos insumos y horas para cada producto (las matrices $Z$ y $F$ son idénticas).
- c. Sumamos las coordenadas correspondientes a cada lugar de la matriz
$Z$ con la matriz $L$:
$$ Z + L = \begin{pmatrix} 2+3 & 3+6 & 5+2 & 3+3 \\ 3+2 & 4+5 & 8+7 & 15+10 \\ 8+10 & 10+11 & 9+9 & 13+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 9 & 7 & 6 \\ 5 & 9 & 15 & 25 \\ 18 & 21 & 18 & 25 \end{pmatrix} $$
- d. Aumentar un 20% significa calcular el 120%. Multiplicamos la matriz
$L$ por el número real (escalar) $1,2$:
$$ 1,2 \cdot L = \begin{pmatrix} 1,2\cdot 3 & 1,2\cdot 6 & 1,2\cdot 2 & 1,2\cdot 3 \\ 1,2\cdot 2 & 1,2\cdot 5 & 1,2\cdot 7 & 1,2\cdot 10 \\ 1,2\cdot 10 & 1,2\cdot 11 & 1,2\cdot 9 & 1,2\cdot 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3,6 & 7,2 & 2,4 & 3,6 \\ 2,4 & 6 & 8,4 & 12 \\ 12 & 13,2 & 10,8 & 14,4 \end{pmatrix} $$
1. Igualdad de Matrices
Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y los valores que corresponden a la misma coordenada en cada matriz son iguales.
Esto debe cumplirse para cualquiera de los valores de $i$ y de $j$.
2. Suma y Resta de Matrices
Para sumar dos matrices de igual orden, sumamos la coordenada que corresponde al lugar $ij$ de la primera matriz con la que corresponde al mismo lugar en la segunda matriz.
Resta de Matrices
Para restar dos matrices $A$ y $B$ de igual orden, sumamos a la matriz $A$ la matriz opuesta a $B$. Es decir: $A - B = A + (-B)$.
Propiedades de la suma
- Conmutativa: $A + B = B + A$
- Asociativa: $(A + B) + D = A + (B + D)$
- Traspuesta: $(A + B)^t = A^t + B^t$
- Elemento neutro: $A + N = A$
3. Multiplicación por un Escalar
Para multiplicar una matriz cualquiera $A$ por un escalar (número real), multiplicamos cada coordenada de la matriz por dicho número.
Propiedades de la multiplicación por un escalar
Si $A$ y $B$ son matrices de orden $m \times n$, y $k$ y $t$ son números reales cualesquiera, entonces se cumple:
- Distributiva respecto de la suma de matrices: $k \cdot (A + B) = k \cdot A + k \cdot B$
- Distributiva respecto de la suma de escalares: $(k + t) \cdot A = k \cdot A + t \cdot A$
- Asociativa mixta: $(k \cdot t) \cdot A = k \cdot (t \cdot A)$
- Traspuesta: $(k \cdot A)^t = k \cdot A^t$
- Elemento neutro: $1 \cdot A = A$
- Multiplicación por cero: $0 \cdot A = N$ (donde $N$ es la matriz nula)
- Multiplicación de la matriz nula: $k \cdot N = N$
4. Ejercicios Prácticos
Ejercicio 6
En cada uno de los siguientes casos hallen, si existen, los valores de $a$ y $b$ que verifican la igualdad:
- a. $$\begin{pmatrix} a+b & 2a-b \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a+b+5 & a+b \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$$
- b. $$\begin{pmatrix} a-2b & 8 & 9 \\ 5 & 4 & a+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 9 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
- c. $$\begin{pmatrix} a-b & 1 \\ 2a & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$
- d. $$\begin{pmatrix} a+b & 4 & 0 \\ 7 & 8 & b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 0 \\ 7 & 8 & 16 \end{pmatrix}$$
- e. $$\begin{pmatrix} 2a+b & 0 \\ 3 & 8 \\ a+\frac{b}{2} & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 8 \\ \frac{1}{2} & 5 \end{pmatrix}$$
- a. Igualando elementos: $a+b = -a+b+5 \Rightarrow 2a=5 \Rightarrow a=2,5$. Evaluamos la otra ecuación: $2a-b = a+b \Rightarrow a = 2b \Rightarrow 2,5 = 2b \Rightarrow b=1,25$. Solución: $a=2,5;\ b=1,25$.
- b. Igualando el elemento de la fila 2, columna 1 tenemos que $5 = 7$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no existen valores de $a$ y $b$ que cumplan la igualdad.
- c. Las matrices no tienen el mismo orden (la primera es de $2\times2$ y la segunda es de $2\times3$). Por lo tanto, no pueden ser iguales.
- d. $b^2 = 16 \Rightarrow b=4 \text{ o } b=-4$. Si $b=4 \Rightarrow a+4=4 \Rightarrow a=0$. Si $b=-4 \Rightarrow a-4=4 \Rightarrow a=8$. Solución: $(a=0, b=4) \text{ o } (a=8, b=-4)$.
- e. $2a+b=1$ y $a+\frac{b}{2}=\frac{1}{2}$ (que multiplicada por 2 es $2a+b=1$). Ambas ecuaciones son equivalentes. Solución: Existen infinitos valores, todos los pares que cumplan $b = 1 - 2a$.
Ejercicio 7
Consideren las matrices:
Y realicen las operaciones que se indican a continuación, cuando éstas sean posibles. En el caso de que no se pueda realizar alguna operación, expliquen por qué.
- a. $A + B$
- b. $A + C$
- c. $B^t + A + C$
- d. $A^t + B$
- a. No es posible. Las matrices no tienen el mismo orden ($A$ es $3\times2$ y $B$ es $2\times3$).
- b. $A + C = \begin{pmatrix} 2+1 & 3+3 \\ -1-1 & 0,5+2 \\ 0+1 & 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -2 & 2,5 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$
- c. $B^t + A + C = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 8 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0,5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 9 \\ 0 & 10,5 \\ 2 & 12 \end{pmatrix}$
- d. $A^t + B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0,5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 6 & 8,5 & 8 \end{pmatrix}$
Ejercicio 8
Demuestren que si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces, la matriz $A + A^t$ es simétrica.
Por definición, una matriz $M$ es simétrica si $M^t = M$. Comprobemos esto para $M = A + A^t$:
$$(A + A^t)^t = A^t + (A^t)^t$$
Como la traspuesta de la traspuesta es la matriz original ($(A^t)^t = A$):
$$A^t + A$$
Por la propiedad conmutativa de la suma de matrices:
$$A + A^t$$
Al demostrarse que $(A + A^t)^t = A + A^t$, confirmamos que es una matriz simétrica.
Ejercicio 9
Prueben que si $A$ y $B$ son matrices de igual orden y $N$ es la matriz nula del mismo orden que las anteriores, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
- a. $A + B = B + A$
- b. $A + N = A$
- a. La coordenada $ij$ de $A+B$ es $a_{ij} + b_{ij}$. Como la suma de números reales es conmutativa, $a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$, que es la coordenada $ij$ de $B+A$. Por lo tanto, $A+B = B+A$.
- b. La coordenada $ij$ de la matriz nula $N$ es $0$. Al sumar $A+N$, obtenemos $a_{ij} + 0$. Como el $0$ es el elemento neutro en los números reales, $a_{ij} + 0 = a_{ij}$, volviendo a obtener las coordenadas de $A$.
Ejercicio 10
Considerando las matrices $A$, $B$ y $C$ de la actividad 7, realicen, si es posible, los siguientes cálculos:
- a. $A - C$
- b. $B^t - A - C$
- c. $C - B^t + A + A$
- a. $A - C = \begin{pmatrix} 2-1 & 3-3 \\ -1-(-1) & 0,5-2 \\ 0-1 & 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1,5 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$
- b. $B^t - A - C = \begin{pmatrix} 3-2-1 & 3-3-3 \\ 2-(-1)-(-1) & 8-0,5-2 \\ 1-0-1 & 5-3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 4 & 5,5 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$
- c. $C - B^t + 2A = \begin{pmatrix} 1-3+4 & 3-3+6 \\ -1-2-2 & 2-8+1 \\ 1-1+0 & 4-5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ -5 & -5 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
Ejercicio 11
Demuestren que si $A$ y $N$ (matriz nula) son matrices de orden $m \times n$, y $k$ y $t$ son números reales cualesquiera, entonces, se verifican las siguientes propiedades:
- a. $(k + t) \cdot A = k \cdot A + t \cdot A$
- b. $(k \cdot t) \cdot A = k \cdot (t \cdot A)$
- c. $(k \cdot A)^t = k \cdot A^t$
- d. $1 \cdot A = A$
- e. $0 \cdot A = N$
- f. $k \cdot N = N$
Demostraciones aplicando operaciones a la coordenada $(i,j)$ genérica:
- a. $((k+t)A)_{ij} = (k+t)a_{ij} = ka_{ij} + ta_{ij} = (kA)_{ij} + (tA)_{ij} = (kA+tA)_{ij}$
- b. $((k \cdot t)A)_{ij} = (kt)a_{ij} = k(ta_{ij}) = k(tA)_{ij} = (k(tA))_{ij}$
- c. $((kA)^t)_{ij} = (kA)_{ji} = ka_{ji} = k(A^t)_{ij} = (kA^t)_{ij}$
- d. $(1 \cdot A)_{ij} = 1 \cdot a_{ij} = a_{ij} = A_{ij}$
- e. $(0 \cdot A)_{ij} = 0 \cdot a_{ij} = 0 = N_{ij}$
- f. $(k \cdot N)_{ij} = k \cdot 0 = 0 = N_{ij}$
Ejercicio 12
Encuentren, si existe, una matriz $D$ para la cual se cumpla que $3 \cdot A - 2 \cdot B + D = C$, siendo:
Despejando $D$ de la ecuación obtenemos: $D = C - 3A + 2B$.
Ejercicio 13
Obtengan, si existen, las matrices $X$ e $Y$ de orden $2 \times 2$ que verifican lo indicado en cada ítem.
- a. $$\begin{cases} 3X + 2Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ X - 2Y = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \end{cases}$$
- b. $$\begin{cases} X - 2Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \\ 2X - 4Y = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{cases}$$
- a. Sumando ambas ecuaciones directamente: $$4X = \begin{pmatrix} 1-1 & 0+3 \\ 2+0 & 1+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 0 & 3/4 \\ 1/2 & 9/4 \end{pmatrix}$$ Reemplazando $X$ en la segunda ecuación para hallar $2Y$: $$2Y = X - \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) & 3/4 - 3 \\ 1/2 - 0 & 9/4 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -9/4 \\ 1/2 & -23/4 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 1/2 & -9/8 \\ 1/4 & -23/8 \end{pmatrix}$$
- b. Notemos que si multiplicamos la primera ecuación por 2, obtenemos $2X - 4Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$, pero la segunda ecuación nos dice que $2X - 4Y = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Como esto es una contradicción, el sistema es incompatible (no tiene solución).
Ejercicio 14
Consideren la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, la matriz $I$ y la matriz $N$, ambas del mismo orden que $A$, y hallen, si existen, los valores de $k$ y $t$ para que se cumpla que $k \cdot A + t \cdot I = N$.
Desarrollemos la ecuación con las matrices:
Igualando el elemento $(2,1)$ (fila 2, columna 1): $k = 0$.
Reemplazando en el elemento $(1,1)$: $2(0) + t = 0 \Rightarrow t = 0$.
Solución: $k = 0, t = 0$.
Ejercicio 15
Una empresa de generación de petróleo debe transportar el crudo a cuatro destilerías ubicadas en diferentes puntos del país. Las cantidades de crudo en metros cúbicos que debe transportar son $1000$ a la primera destilería, $1550$ a la segunda, $4580$ a la tercera y $2350$ a la cuarta.
Los costos del transporte por metro cúbico a cada una de las destilerías son, en pesos, $140$ para la primera destilería, $230$ para la segunda, $110$ para la tercera y $230$ para la cuarta.
¿Qué operación se debe realizar para obtener el costo total de transporte de la empresa? ¿Cuál es dicho costo?
La operación que se debe realizar es un producto escalar de vectores (o producto de una matriz fila por una matriz columna).
Definimos el vector de cantidades $V = (1000 \quad 1550 \quad 4580 \quad 2350)$ y el vector de costos $C = (140 \quad 230 \quad 110 \quad 230)$.
El cálculo sería:
El costo total de transporte será de $1.540.800 pesos.