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Clase Presencial 1
Situación problemática
Imagina que analizamos la logística de una aerolínea que opera entre cuatro ciudades: Buenos Aires, Córdoba, Mendoza y Salta. En el esquema (grafo), cada línea indica un vuelo directo disponible entre dos ciudades.
Actividad 1
- Construye un arreglo de números de \(4 \times 4\). Asigna las filas a las “Ciudades de Origen” y las columnas a las “Ciudades de Destino”.
- Coloca un \(1\) si existe un vuelo directo desde el origen al destino, y un \(0\) si no lo hay. A estos números los llamaremos \(a_{ij}\), donde \(i\) indica la fila (origen) y \(j\) la columna (destino).
- Analiza tu construcción y reflexiona:
- ¿Qué valores quedaron en la diagonal que cruza el arreglo de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha (elementos \(a_{ii}\))? ¿Por qué?
- Si asumimos que todo vuelo de ida tiene su respectivo vuelo de vuelta asegurado, ¿qué simetría observas en los números respecto a esa diagonal?
El rigor del lenguaje matricial
1. De la intuición a la abstracción
En la actividad anterior, utilizamos un arreglo de números para representar las conexiones de vuelos entre ciudades. En matemáticas, despojamos a estos arreglos de su contexto particular para estudiarlos como objetos matemáticos puros. A estos arreglos rectangulares los llamamos matrices.
2. Definición Formal sobre un cuerpo \(K\)
Sean \(m, n \in \mathbb{N}\). Una matriz \(A\) de dimensión \(m \times n\) sobre un cuerpo \(K\) (como los números reales \(\mathbb{R}\) o los complejos \(\mathbb{C}\)) es un arreglo rectangular de \(m \cdot n\) elementos de \(K\), dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas.
Simbólicamente, escribimos la matriz como \(A = (a_{ij})\), donde el subíndice \(i\) (desde \(1\) hasta \(m\)) indica la fila, y el subíndice \(j\) (desde \(1\) hasta \(n\)) indica la columna. El conjunto de todas las matrices de dimensión \(m \times n\) sobre el cuerpo \(K\) se denota como \(K^{m \times n}\).
Ejemplo:
\(A_{32}=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
6 & 8 \\
2 & 9 \\
4 & 5
\end{bmatrix}\end{equation}\)
Clasificación de Matrices
3. Clasificación Teórica Rigurosa
A partir de la relación entre \(m\) y \(n\), y los valores de \(a_{ij}\), podemos definir:
- Matriz Cuadrada: Si \(m = n\).
- Matriz Nula (\(0\)): Si \(a_{ij} = 0\) para todo \(i, j\).
- Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada donde \(a_{ij} = 0\) para todo \(i \neq j\).
- Matriz Identidad (\(I_n\)): Es una matriz diagonal donde \(a_{ii} = 1\) para todo \(i\).
4. Igualdad de Matrices: Un concepto crítico
En álgebra lineal, la igualdad estricta es fundamental. Dos matrices \(A = (a_{ij})\) y \(B = (b_{ij})\) son iguales si y sólo si cumplen dos condiciones simultáneas:
- Tienen la misma dimensión (\(A, B \in K^{m \times n}\)).
- Sus elementos correspondientes son idénticos: \(a_{ij} = b_{ij}\) para todo \(i, j\).
Actividad 2
Cuestionario de Autoevaluación:
- Pregunta 1: Dadas las matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) y \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\). ¿Podemos afirmar que \(A = B\) dado que ambas representan conceptos de “identidad” y tienen los mismos elementos no nulos?
- Pregunta 2: Sea una matriz \(C = (c_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) definida por la regla \(c_{ij} = i – j\). ¿Qué tipo de matriz particular se genera? (Construye la matriz en papel para responder).
Clase Presencial 2
Creamos recursos interactivos relacionados con la definición de matriz y la clasificación de matrices.
Los recursos los crearemos con la Herramienta “Canvas” de Google Gemini.
