Rango de una matriz y el Teorema de Rouché-Frobenius

Definición de Rango

El rango de una matriz \(A\), denotado \(rg(A)\), es el número de filas no nulas que tiene su equivalente escalonada por filas. Ejemplo: Si $$A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, entonces $rg(A) = 2$$.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de \(n\) incógnitas es compatible (tiene solución) si y solo si \(rg(A) = rg([A|B])\).

1. Incompatible (SI): \(rg(A) \neq rg([A|B])\) (Aparece una fila tipo \(0=k\)).
2. Compatible Determinado (SCD): \(rg(A) = rg([A|B]) = n\).
3. Compatible Indeterminado (SCI): \(rg(A) = rg([A|B]) < n\). Habrá variables libres.