Todo sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas puede expresarse como una ecuación matricial: $\mathbf{A \cdot X = B}$.
El Teorema de Cramer establece que si la matriz de coeficientes $A$ es cuadrada y $|A| \neq 0$, el sistema tiene una solución única dada por: $\mathbf{X = A^{-1} \cdot B}$
La Regla de Cramer (Cálculo mediante determinantes)
El valor de cada incógnita $x_i$ se obtiene dividiendo dos determinantes:$$x_i = \frac{\Delta_{x_i}}{\Delta}$$
Donde:
- $\Delta$: Es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema ($|A|$).
- $\Delta_{x_i}$: Es el determinante de la matriz que se obtiene al reemplazar la columna de la incógnita $x_i$ por la columna de los términos independientes del sistema ($B$).
Ejemplo resuelto ($3 \times 3$) usando Regla de Cramer:$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x – y + z = 2 \\ 2x + y – z = 1 \end{cases}$$
- $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{6}$
- $\Delta_x = \begin{vmatrix} \mathbf{6} & 1 & 1 \\ \mathbf{2} & -1 & 1 \\ \mathbf{1} & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{6} \implies x = \frac{6}{6} = \mathbf{1}$
- $\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & \mathbf{6} & 1 \\ 1 & \mathbf{2} & 1 \\ 2 & \mathbf{1} & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{12} \implies y = \frac{12}{6} = \mathbf{2}$
- $\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \mathbf{6} \\ 1 & -1 & \mathbf{2} \\ 2 & 1 & \mathbf{1} \end{vmatrix} = \mathbf{18} \implies z = \frac{18}{6} = \mathbf{3}$
Solución: $(1, 2, 3)$.