Nota para el futuro docente: Estos métodos asientan las bases del razonamiento algebraico de la educación secundaria y permiten una visualización geométrica directa.
Para ilustrar los métodos clásicos, resolveremos el sistema:$$\begin{cases} (1) \quad 2x + 3y = 12 \\ (2) \quad x – y = 1 \end{cases}$$
Método 1: Sustitución
Despejamos \(x\) de la ec. (2): \(x = 1 + y\).
Sustituimos en (1): \(2(1 + y) + 3y = 12 \implies 2 + 5y = 12 \implies y = 2\).
Reemplazamos: \(x = 1 + 2 = 3\).
Solución: \((3, 2)\)
Método 2: Igualación
Despejamos \(x\) de ambas: \(x = \frac{12 – 3y}{2}\) y \(x = 1 + y\).
Igualamos: \(\frac{12 – 3y}{2} = 1 + y \implies 12 – 3y = 2 + 2y \implies 10 = 5y \implies y = 2\).
Reemplazamos: \(x = 3\).
Solución: \((3, 2)\)
Método 3: Reducción (por sumas y restas)
Multiplicamos ec. (2) por 3: \(3x – 3y = 3\).
Sumamos con ec. (1): \((2x + 3y) + (3x – 3y) = 12 + 3 \implies 5x = 15 \implies x = 3\).
Reemplazamos en (2): \(3 – y = 1 \implies y = 2\).
Solución: \((3, 2)\)
Método 4: Por Determinantes (Cramer de 2×2)
Determinante del sistema:
\(\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 – 3 = -5\)
\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 12 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -15 \implies x = \frac{-15}{-5} = 3\)
\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -10 \implies y = \frac{-10}{-5} = 2\).
Solución: \((3, 2)\)
Método 5: Gráfico
Despejamos \(y\):
(1) \(y = -\frac{2}{3}x + 4\) ;
(2) \(y = x – 1\).
Al graficar ambas rectas, se intersectan exactamente en el punto \((3, 2)\).