Matrices: definiciones, clasificación y operaciones fundamentales

Una matriz es un arreglo rectangular de números (reales o complejos) ordenados en filas y columnas.

Se denota como $A = (a_{ij})_{m \times n}$.

Matriz Fila: $1 \times n$.
Ejemplo: $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
Matriz Columna: $m \times 1$.
Ejemplo: $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
Matriz Cuadrada: Mismo número de filas que columnas ($m = n$).
Ejemplo de orden 3: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
Matriz Identidad ($I$): Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto.
Ejemplo ($I_2$): $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dado el sistema: $$\begin{cases} 2x – y + 3z = 5 \\ x + 4y – z = 0 \end{cases}$$

Matriz de coeficientes ($A$): $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}$

Matriz ampliada ($[A|B]$): $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & \big| & 5 \\ 1 & 4 & -1 & \big| & 0 \end{pmatrix}$

1. Suma: Se realiza elemento a elemento (deben tener el mismo orden).

Ejemplo:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+0) & (2-1) \\ (3+5) & (4+2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$$

2. Producto por un Escalar: El escalar multiplica a cada elemento de la matriz.

Ejemplo:
$$3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3\cdot2) & (3\cdot-1) \\ (3\cdot0) & (3\cdot4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}$$

3. Producto de Matrices: El número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$. Se multiplica fila por columna.

Ejemplo:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot5 + 2\cdot7) & (1\cdot6 + 2\cdot8) \\ (3\cdot5 + 4\cdot7) & (3\cdot6 + 4\cdot8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

⚠️ ¡Alerta de error común!: El producto de matrices NO es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$).