El determinante es una función que asigna a cada matriz cuadrada \(A\) un escalar. Se denota \(|A|\).
Cálculo según el orden de la matriz
1. Orden 2 (\(2 \times 2\)): $|A| = a\cdot d – b\cdot c$.
- Ejemplo:
$\(\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) – (2 \cdot -1) = 12 + 2 = 14\)$
2. Orden 3 (\(3 \times 3\)) – Regla de Sarrus: Se suman los productos de las 3 diagonales principales y se restan las 3 diagonales secundarias.
- Ejemplo: Calcularemos el determinante de la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
\(|A| = (1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 2) – (0 \cdot 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2)\)
\(|A| = (3 + 0 + 0) – (0 + 2 + 2) = 3 – 4 = \mathbf{-1}\)
3. Desarrollo por Cofactores (Laplace):
Desarrollo por una fila: \(|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}\), donde el cofactor es \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\) (\(M_{ij}\) es el determinante al tachar fila y columna).
Propiedades principales
- \(|A| = |A^T|\).
- Si tiene una fila/columna nula, su determinante es \(0\).
- Si tiene filas/columnas iguales o proporcionales, es \(0\).
- Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
- \(|k \cdot A| = k^n \cdot |A|\) (¡Atención! El escalar \(k\) sale elevado al orden de la matriz \(n\)).
- \(|A \cdot B| = |A| \cdot |B|\).